NTJC-4-14
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【题14】·一质量为m的行星绕质量为M的恒星运动,设在以恒星为球心的球形大空间范围内均匀地分布着稀薄的宇宙尘埃,尘埃的密度ρ很小,可以略去行星与尘埃之间的直接碰撞作用.1.试问:对于角动量为L的圆形行星轨道,其半径r。应满足什么方程(列出方程即可,不必求解)?·143·第一部分力学2.考虑对上述圆轨道稍有偏离的另一轨道,试解释它是一条做进动的椭圆轨道,进动方向与行星运行方向相反,并求出进动角速度(用。表述).【解】1.将行星轨道径矢记为r,行星受以”为半径的球形空间尘埃的附加引力为-GMmr.M'=xr3于是行星的径向运动动力学方程为-G0-mkr=m(-序),k=专xGPr2(1)式中:r为dr/dt2,0为d0/dt的简写.方程(1)也可通过L =mr20简化成氵=-GMkr+m2,-3(2)对于圆轨道,r取为常量ro,且P=0,即得ro满足的方程为L2GM -kro =0m2ro ro(3)2.若行星轨道稍稍偏离圆轨道,可列出径矢r相对于r。的小偏离量6遵守的动力学微分方程.将可发现,这是一个简谐振动方程,偏离量δ随时间做简谐振动,振动频率略大于圆运动角频率,故行星轨道大致是一个椭圆,但椭圆将以较慢的角速度做进动将径矢r相对r。的小偏移量表述成r(t)=ro+8(t),i(t)=8(1)代入前述方程(2),可得6=-91-2)-k+)+1-3》(4)利用r。满足的式(3),式(4)可简化为8+(行+3)归=0这是简谐振动微分方程,♂随时间t做简谐振动,角频率为LVm2月+3k注意到r。圆运动角速度为仅供个人科研教学使w0=0=Lri可见,当无宇宙尘埃,即当p=0,从而k=0时,w,=w0.这表明行星绕恒星运行一周,”的振动也恰好经历一个周期,”值从极小到极大,再回到极小,行星的轨道是闭合的椭圆,如力图4.14.1所示.当存在宇宙尘埃,即当k>0时,w,>ω0.这表明行星轨道不再是一个闭合的椭圆.但因k很小,ω,仅稍大于ω0,两个r极大值之间经过的时间稍短于半个圆周角经过的时间,于是形成力图4.14.2所示的椭圆进动.若行星逆时针方向运行,则椭圆进动方向为顺时针.将进动角速度记为ωp,椭圆长轴进动一周所需时间(即进动周期)为T。=2π/wp进动一周时,圆运动与径向振动之间的相位差为2π,即有(w,-w0)Tp=2π·144·第四章角动量、有心运动Mmin力图4.14.1力图4.14.2故进动角速度为Wp=2=w,-0=Tmro展开后,略去高阶小量,得wp 3mkri2L由mwro≈GMm/r行得GM,L mriwo =m /GMrow0=与k表述式一起代入ωp表述式,得Griwp=2πP√M仅供个人科研教学使用·145·第五章静力平衡