NTJC-12-23

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【题23】线电荷密度分别为常量λ>0和-入的两根无限长平行带电直线相距2a,试求等势面和电场线的空间分布【解】设置Oxyz坐标系，使两带电直线分别位于x=±a,y=0,且与z轴平行.由对称性只需讨论Oxy坐标面中的等势线和电场线分布即可.参考电图1.23.1，取x=0,y=0点为电势零点，则Oxy坐标面上任一点(x,y)的电势为U=nA-Ina2TEo一λlna[(x-a)2+yr]+2me0"[(x+a)2+y2]2λ-lnx+a)2+y24πe0"(x-a)2+y2等势线要求U=常量（不同等势线对应的常量不同）引人不定常量性参量电图1.23.14πe0Ua=e>0则等势线方程为(x+a)+y=al(x-a+x2ax+y=-a(1)也可表述为(x-a)+y=(2a)月(2)可见，等势线是一系列以(：a,0)为圆心以名气a为半径的圆.U取不同值时，。为不同的常量.U>0时，∞>a>1,圆在右半平面；U=0时，a=1,圆退化为y轴直线；U<0时，1>α>0，圆在左半平面.Oxy坐标平面上的等势线如电图1.23.1中实线圆所示.在全空间，等势面是一系列的圆柱面，其母线与z轴平行，其截面为上述各个圆.在任一点，等势线切线斜率为，等势线的法线斜率为-因电场线与等势线垂直。dx故在(x,y)点，电场线的切线斜率等于该点等势线的法线斜率，即dydxdx电场线dy等势线由式(2)得仅供个人科司dx(3)dy等势线x-Q+1&-1a再由式1)解出8，代入式3，得dx-2xy(4)dy等势线x2-y2-a2继而有dy2xyd-2yxdr电扬2-y2-a2或d电扬线=y2-x2-(-a2)(5)·464·第一章静电场、导体介质本来可为微分方程式(5)去寻找对应的原函数（即电场线方程），但当将式(5)与式(4)作一比较，发现两者数学结构相同，即只要将式(5)中的x与y互换.再将a2换成-a2,即成式(4).式(4)的原函数解是含有不定常量α的等势线方程(1)，故只需将式(1)中的x与y互换，再将a2换成-a2,就可以得到式(5)对应的原函数，即也包含一个不定常量α'的电场线方程.a与a'并非微分方程式(4)与式(5)中包含的量，考虑到式(4)对应的是等势线，式(5)对应的是电场线，两者物理内容不同，α'与α未必相同也是自然的.于是式(5)对应的电场线方程通解可表述为y2-20+1a-jay+x2=a2(6)也可等效改述为(0-ta)+=[29Daa'-1(7)对式(6)和式(7)求导即可验证它们与式(5)相符.由式(7)可见，在Oxy平面内，电场线是以(0,引a)为圆心、以2C9卫a为半径的一系列圆弧，这与圆弧都通过(a,0)点和(-a,0)点，如电图1.23.1中虚线所示.需要注意的是电图1.23.1中每个虚线所示整圆，并非代表一整条电场线，而是由两整条电场线连接而成的

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