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NTJC2-22-3

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【题3】如综试（五）图3.1所示，质量为M的圆环用细线（质量可略)悬挂，圆环上串着两个质量均为m的小球，两小球自圆环顶端从静止开始同时向两边滑下，设摩擦可略M1.在圆环不动的条件下，试画出悬线中的张力T随cos0变化的综试（五）图3.1曲线(0如综试（五）图3.1所示)，并求出张力T的极小值和相应的·460·综合试题（五）0角：2.试问：小球与圆环的质量比m/M至少为多大时，圆环才有可能上升？试画出临界情形（即能使圆环上升的最小质量比）下，张力T随cos0变化的曲线，并求圆环开始上升时的0角，【解】1.设圆环不动，小球受重力和环支持力沿环做圆周运动，其动力学方程为mgcos0-N =muR(1)式中：。是小球在0角位置时的速度.在小球沿环运动过程中，小球和地球系统的机械能守恒，故m=mgR(1-cos 0)(2)由式(1)、式(2)，解出小球所受圆环支持力N随0角的变化为N=mg(3cos 6-2)(3)设圆环不动，则圆环所受重力、张力及两小球压力之矢量和为零，其竖直分量为T=2Ncos 0 Mg(4)由式(3)、式(4)，解出T Mg 2mg(3cos20 2cos 0)这就是张力T随cos0变化的关系，如综试（五）图3.2的曲线所示，令x cOS0则T Mg +2mg(3x2-2x)当张力为极小值时，即当T=TminMgMg-mg时，有d工=0dx01=c050即x COS综试（五）图3.2相应于Tmm的0角为0=arccos3=70.5故张力的极小值为T==Mg-号mg22.圆环上升的条件为Tmin =0要求小球与圆环的质量比为圆环上升时，小球的位置为·461·第六部分试题0=70.5由上述小球所受圆环支持力公式N mg(3cos0-2)=mg(3x -2)当x=c0s0>号时，N>0,为压力当x=cos0<号时，N<0,为拉力显然，当x<2/3,N<0时，即当小球对圆环作用力为拉力时，圆环才可能上升，这是圆环上升的必要条件当圆环上升时，所受张力为零，即T=0由上述T的公式，要求16Mg22Ncos0≥Mg,即-2mg(3x-2)x≥Mg供个人科研临界情形为3x2-2x+M=02m(5)AMg式(5)有实根的条件为Mgm≥是M011=c0s0当m=3M/2时，有T=Mg(9x2-6x+1)=Mg(9cos20-6cos0+1)综试（五）图3.3这就是临界情形张力T随cOs0变化的曲线，如综试（五）图3.3所示.

详细题解

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