NTJC2-7-17

【题17】相对论性粒子在狭义相对论里，一个质量为m。的自由粒子的能量E和动量p之间的关系为E=(p2c2+mic‘)克=mc2当这样的粒子受到一个保守力作用时，其总能量，即(p2c2+mc)立与势能之和是守恒的.如果粒子的能量非常高，则它的静止能量可以忽略，这样的粒子叫做极端相对论性粒子1.考虑一个能量极高的做一维运动的粒子（忽略静止能量），受到一个大小为∫（常量）的向心吸引力的作用.设开始时(10)粒子处于力心(x=0),具有初始动量Po.试在(p,x)图（动量-空间坐标图）和(x,)图（坐标时间图）上分别画出粒子运动的图像，要求至少画一个运动周期，标明各转折点的坐标（用所给参数P和∫表示），并在(P,x)图上用箭头指示出运动方程的方向.2.介子是一种由两个夸克构成的粒子.介子的静止质量M等于两夸克系统的总能量除以c2.考虑一个关于静止介子的一维模型，其中两个夸克沿若x轴运动，它们之间存在着一个常数吸引力，大小为∫，并假定它们可以自由地互相穿透.在分析夸克的高能运动时，它们的静止质量可以忽略.设开始计时时(t=0)两夸克都在x=0处.设在(x,t)图和(p,x)图上指示出运动的方向，并求出两夸克之间的最大距离，3.上面第2问中所用的参考系记为S,今有一实验室参考系S',S相对于S以恒定速度v=0.6c沿负x方向运动.两参考系的坐标这样选择，即使得S系中的x=0点与S系中的x'=0点在t=t'=0时重合.试在(x',t')图上画出两夸克的运动图像，标出转折点的坐标(用M,∫和c表示)，并给出S系观察到的两夸克之间的最大距离.在S系和S系中观察到的粒子的坐标之间的关系由洛伦兹变化决定，即X=rx+.=+)式中：B=u/c:r=1/√1-；v为S系相对于S系的速度.4.已知一介子，其静止能量为Mc2=140MeV,相对于实验室系S的速度为0.60c.试求出它在S系中的能量，【解】1，取力心为空间坐标x的原点和势能零点，则粒子的势能U(x)和总能量W分别为U(x)=fxW=Vp2c2+mic+f xl(1)若忽略静止能量，得W pl c+f l x(2)因总能量W在整个运动过程中守恒，故有·262·第二章狭义相对论W=Ipl c+fxl=Poc(3)取粒子初始动量的方向为x的正方向，则式(3)可写为当x>0,p>0时，pc+fr=puc当x>0,p<0时，-pc+fr=poC(4)当x<0,p>0时，pc-fx=PaC当x<0,p<0时，-p心-x=paC当p=0时，粒子到达离原点最远处，设此距离为L,由式(3)可得L=Poc(5)由x=0时p=pa和牛顿定律，得=F={f当x>0时(6)dtf.当x<0时可求得粒子从原点运动至离原点最远处(p=O)所需时间τ为Po(7)由式(3)及式(6)，可求得粒子运动的速率为个==c即粒子总是以光速c运动.当它位于与x=±点极为接近的区域时，由于获得式(3)的条件pC>m。c2不再满足，此时粒子的速率不再等于C,但在本题中以后的计算均忽略此差别引起的微小影响.此粒子将在x=L和x=一L两点之间往复运动，周期为4x=4p/∫，速率为c,x和t之间的关系为X=c1,当0≤t≤x时x=2L-c1,当x≤t≤2x时(8)x=2L-c1,当2x≤t≤3x时x=ct-4L,当3x≤1≤4r时式中：x=po/f.第1问的答案如近图2.17.1和近图2.17.2所示.DL-Po近图2.17.1近图2.17.22.两夸克系统的总能量可表示为Mc2 =plc+lpzl c+flx1-x2(9)式中：x1,x2和P1,P2分别为夸克1和夸克2的位置坐标和动量.在介子参考系中，两夸克的总动量为零，且【=0时两夸克都在x=0处，因而有P1=-P2;X1=-x2(10)·263·第五部分近代物理即两者始终对称地在原点附近做彼此反向的往复运动.设夸克1在x=0处的动量为p,则有Me2=2pc或p=2Mc(11)因|pP1|=|P2|,|x1-x2|=2x1|,Me2=2poc,代人式(9)，得poc =Iplc+flx(12)此式表明，夸克1的运动与第1问中单粒子的运动一样，只是初始动量P%=M/2.因而由第1问的答案即可得到夸克1的(x1,t)图和(p1,x1)图，如近图2.17.3和近图2.17.4所示.夸克2的情形与夸克1类似，只要改变x和p的正、负号即可得到夸克2的(x2,)图和(P2,x2)图，如近图2.17.3和近图2.17.4所示.两者的运动方向分别由p=p%和p=-p%出发，夸克1向+x方向运动，夸克2向-x方向运动，由近图2.17.3容易看出，两夸克之间的最大距离为d 2L =2poc Mc2f(13):实线学使用P点画线47DMC.L=Mc22fL=等=Me近图2.17.3近图2.17.43.参考系S以恒定速率v=0.6c相对于实验室参考系S沿x'轴方向运动，S系和S系的原点在1=1'=0时重合，这两个参考系之间的洛伦兹变换为x=r(x+风)，t=r(:+卧c其中B=y=0.6,r==1.251-因为洛伦兹变换是线性的，(x,t)图中的直线经变换后在(x',t')图中仍为直线，所以只要计算出各转折点在S系的x'和'的数值，即可得到(x',t')图.夸克1和夸克2应分别计算.对于夸克1，计算结果如近表2.17.1所示.近表2.17.1参考系S参考系SX1h*3x=r(知1+1)=5h片=r(+医)=互c4 C000Lr(1+)L=2Lr(1+)r=2:02r2=号2r=-L3rr(339-1)L=Lr(3-)x=3x04r4L=3L4rr=5t·264·第二章狭义相对论其中：L=4%==4%=普=0.6r=1.25对于夸克2，计算结果如近表2.17.2所示.近表2.17.2参考系S参考系SX2343x行=r(x2+风2)=ta=r(+婴)=景+是日A C0000-L-r1-L=-r1-r=2:02r2=号LL3r(3B-DL-2L3+刷r=号04r4rBL =3L4r=5t利用上面的结果可画出如近图2.17.5所示的(x{,)图和(x2,t2)图.图中的直线OA和OB的方程分别为OA:x1(t')=ct',0≤t'≤r(1+)x=2x(14a)OB:x2(=-c',0≤≤r1-)r=21(14b)由近图2.17.5可以看出，两夸克之间的距离，在t'=x/2时到达最大值，从而可以求出此最大值为d'=2cr(1-)r=2c×1.25×0.4×s=c2f2f(15)号3.5L种实线华点画线3.0L2.5L2.0L1.5L1.0L0.5L0f0店10店202店303药404550+r-0.5LBLs Me等等近图2.17.54.已知介子的静止质量为Mc2=140MeV,介子相对于实验室系的运动速度v=0.60c,在实验室中，测出此介子的能量为E'=√p2c2+Mc=1-2+McMUc☒c2·265·第五部分近代物理/0.36V0.64+1Me2=5×140MeV=175MeV【本题是1994年第25届IPhO(国际中学生物理奥林匹克竞赛)试题.】

NTJC2-7-17

NTJC2-7-17

详细题解