NTJC-15-11

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【题11】两端无限梯形电阻网络如电图4.11.1所示，它由K→∞个相同的网络元串·597·第三部分电磁学接而成，每个网络元包含三个相同的电阻R.通常采用极限法来计算电图4.11.1中A,B两端点之间的等效电阻RB·所谓极限法，就是先设K个网络元组成两端网络，其等效电阻记为RK,再连接一个网络元，其等效电阻记为RK+1.设法找出Rx+1与RK之间的递推关系，最后令K∞，则RK+1与RK就都是所求的由无穷网络元构成的两端网络的等效电阻RB·RK+1与RK之间的递推关系成为关于RB的一元代数方程，由此可解出RB.不难看出，上述做法是不够严谨的，因为只有R证明数列R1,R2,…,RK,…存在极限R。之后，才有K→∞时，RK+1=RK=R=RB的结果.2R换言之，不能“想当然”地认为，K→∞时，一定有RK+1=RK=R的结果.R为了在严格的意义上讨论电图4.11.1中A,电图4.11.1B之间的等效电阻RB,特编制以下各题，试逐一予以解答.1.在找出数列Rk的数学表达式之前，试定性证明{RK}是一个单调递减的有界数列，因此存在极限2.(a)试导出RK+1(RK)递推关系式(b)试由上述递推关系式，解出Rx(R)表达式，(c)试由Rk(R)表达式定量证明{Rx}是一个单调递减的有界数列，因此存在极限(d)试求出RK的极限，即RB值.最后，需要指出，在求解两端无限网络的等效电阻问题时，一般说来，若题文中无特殊要求，即意味着该题存在极限，解题者可在此基础上求解，不必作如本题的严格论证

详细题解