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NTJC2-22-4

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【题4】在一柱形容器内，有大量相同的小球沿着容器的长度方向往返运动.小球可视为质点，小球之间以及小球与容器端面（与其长度方向垂直）之间做弹性正碰撞.小球的速率以及向前还是向后运动都是无规的.可引人“温度”T的概念，它是由小球的平均动能e定义的，为E号初式中：k为玻尔兹曼常量.今在容器的一端安装平面弹性活塞，并使活塞缓慢地沿着容器长度方向向内推进，运动的小球因与活塞做弹性正碰撞增加动能，从而使系统的“温度”升高.上述模型实际上就是单原子理想气体一维热运动绝热压缩的微观模型.试导出在活塞缓慢推进过程中“温度”T与体积V的关系式，此即单原子理想气体的一维绝热过程方程。设重力、引力以及各种阻力、摩擦力均可忽略【解】计算活塞推进过程中，与之碰撞的小球速度，动能的变化与容器体积变化的关系，取平均值，即可得出用T一V关系表示的一维绝热方程。理想气体的绝热方程是熟知的，它在一维情形的结果应与上述计算相等，可以此作为检验，由于小球均相同，其间的碰撞是弹性正碰撞，故碰后两球交换速度.即速度为)的小球与另一小球碰撞后，将把速度U传递给后者，下文速度为v的小球实际上指的是“速度)的·462·综合试题（五）携带者”，由于小球是质点，碰后，速度携带者的位置并无变化方法一.沿容器长度方向取x轴，设容器长度为x,活塞推进速度为“，因缓慢推进，故《v.速度为)的小球经△1=2x/0时间与活塞相碰一次.碰后，小球相对活塞的速度从-'=一(v+4)变为v'=v+u.在地面参考系中，小球速度则从一v'+M=-v变为v'+“=U+2u,因此，由于活塞移动而引起的小球速度变化率为dv=△v-24=uwdt△t2xx(1)0随着活塞的推进，在dt时间内，容器缩短-dx,即udt =-dx(2)由式(1)、式(2)，得xdv+vdx =0(3小球的动能为即仅供个人科研教学使用！E=2m22e，dv=de√J2me代入式(3)，得xdE ZEdx 0(4)式(3)和式(4)就是在活塞推进过程中，速度为v的小球的速度v、动能e的变化与容器长度x变化之间的关系：把式(4)对具有各种速度、动能的小球作平均，得xdE+2Edx =0(5)因E=2k灯代入式(5)，得xdT+2Tdx =0(6)设容器底面积为S,则其体积V=Sx,式(6)改写为vdT+2Tdv=0或dT+2dv =0积分，得n7+ln片=0V2式中：T。和V。分别是初态的温度和体积，即TV2=T。V=常量(7)这就是单原子理想气体的一维绝热方程，方法二.理想气体的绝热方程为TVrI=常量(8)】·463第六部分试题式中：比热比Y是理想气体定压摩尔热容量C。与定体摩尔热容量Cv之比，即i+2Ry=C=2R=+2=4++2)+2台Rt+r+2s式中：1、「、s分别为气体分子的平动、转动、振动自由度数，i=1+r+25.对于单原子分子，1=3,r=0,s=0.由于限制为一维运动，故1=1，于是，对于做一维运动的单原子分子，有1=1,r=0,s=0i=t+r+2s=1故y=i+2=3i代入式(8)，得与式(7)相符学使用从·帝量方法三.由热力学第二定律dU dA-do对于绝热过程，有do=0故dU dA(9)理想气体的内能为U=Ni=N.TKT式中：N为总分子数，故du =kNaT(10)做功为dA =-pdv =-nkTdv =-MkTdv(11)其中用到理想气体状态方程p=nkT,n=N/V是分子数密度.由式(9)~式(11)，得kNdT=-TaV,即是g=-y两边同时积分，有平-光业兴得n无=a(作)即TV2=T。V哈=常量·464·综合试题（五）此即理想气体一维绝热过程方程

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