NTJC2-6-7

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【题7】阳光中的人造卫星，本题欲计算一颗太空中人造卫星的温度.卫星的主体假设是直径为1m的球，而且卫星主体各处温度均匀一致，卫星的整个球表面用同一种涂料覆盖.卫星处于地球附近的太空中，但不在地球的阴影中，太阳表面温度（黑体温度）为Ta=6000K,太阳半径为R日=6.96×108m,太阳与地球的距离为R=1.5×10m.卫星在阳光中升到某一温度时，卫星的黑体辐射功率等于它对阳光的吸收功率，根据斯特藩一玻尔兹曼定律，黑体表面每单位面积的辐射功率P=aT4式中：g为一普适常量，。=5.67×108W/(m2·K).我们先假设太阳与卫星都近似为黑体。1.试导出卫星热平衡温度T,的表达式，并计算其数值.·209·第五部分近代物理2.物体在温度为T时的黑体辐射谱“(T,)遵从普朗克辐射定律u(T.f)df·e"-1式中：ud∫为频率在∫到f+df间隔内的电磁辐射的能量密度：式中?=有关常量如下：h=6.6×104J·s,c=3.0×10m/s,k=1.4×10aJ/K其中：h为普朗克常量：c为真空光速：k为玻尔兹曼常量.黑体辐射谱对所有频率和发射方向进行积分，便可得到单位面积的全辐射功率P=T,此即上面给出的斯特藩-玻尔兹曼定律，其中25k0=15e2h14马“如近图1.7.1所示，给出了归一化的谱（参看题后120.8仅供个人科研教学使用译注)牙g.D]-与刀的函数关系曲线在人造卫星的许多应用方面，必须使卫星尽可hf能地冷.为了冷却卫星，工程师们使用一种反射涂6810+料，它可全反射掉高于某截止频率的入射光，但是不近图1.7.1反射低于该截止频率的热辐射.设这一截止频率为f=(1200K)试估算卫星现在可达到的温度，不要求严格解，不必进行繁琐的积分，凡是需要的均可作近似计算.给出一个积分值如下：八=函数。的极大值出现在≈2.82处.？较小时，可取指数函数的近似展开式e”≈1+n3.现在假设有一颗真实的人造卫星，它用几块向外展开的太阳能电池板来发电，卫星主体内电子器件的焦耳热形成了额外的热的来源.设这种内部产生的热功率为1kW.试问：上面第2问中卫星的温度又将为多少？4.某家厂商广告宣传一种特殊的油漆如下：“本油漆对所有入射辐射（可见光与红外线)均反射90%以上的能量.但其本身又能像黑体一样在所有频率（可见光与红外线）上进行辐射，从而使卫星释放出的热量始终多于吸收的热量.据此，本油漆将能使卫星越来越冷.”试问：这样的油漆可能存在吗？为什么？5.为使一个像人造卫星一样的球体的温度上升到比第1问算出的温度还要高，试问：该球表面的涂料应具有什么样的性质？【译注】关于本题第2问归一化谱的解释.。210*第一章量子物理在我国大学物理教材中，通常引人黑体在温度为T的热平衡辐射场能量密度随辐射圆频率的分布函数，它可表述为u(T）=衣。式中：有=h/(2π)：在u到w+dw范围内，辐射场的能量密度为uo(T,ω)dw若以辐射频率∫=w/(2π)置换仙作为能量密度参量，则能量密度随辐射频率的分布函数u(T,)与上面的4a(T,w)应有如下关联：u(T,f)df uo(T,w)dw此处的u(T,f)即为第2问所称“物体在温度为T时的黑体辐射谱”.结合u(T,u)的表达式，可得u(T.f)df =8xhfC3-]df便得到第2向给出的公才研教学使用！引入无量纲参数又供个uTd=80F·o通过对辐射方向的积分，黑体表面单位面积向外辐射的功率随辐射频率∫的分布函数为p(T.f)=fu(T.f)再对频率积分，可得单位面积向外辐射的全（频率）辐射功率为Pn=pT,a=cTnd=2Fe子dn因八dn=若即得题中所给出的斯特藩一玻尔兹曼定律P=OT式中a=2nk15c2h3u(T,f)也可表示为u(T=8Fe=。因此，有灯[.uD]=由于八d?=(常量)·211第五部分近代物理函数灯[.uD]T4可称为归一化的谱.本题原文引入.D-7子为归一化谱，实属不妥，且与所给图线不符.翻译时已对此表达式作了修改，并对题图的纵坐标也作了相应的修改【解】1.太阳全表面的黑体辐射功率为4πRP=4πRCT自人造卫星与太阳的距离近似取为地球与太阳的距离R,对太阳而言，R球面上单位面积辐射流的功率为AxRioTi aTiRiR2卫星吸收的功率为科研教学使？πrTRR其中：r,=0.5m为卫星半径卫星自身表面的黑体辐射功率为4πraTg其中：卫星温度T。为待求量.热平衡时有xriaTiRa =4nrioT:R因此，有TT.=2R把有关数据代入，得6.96×108T,=√2×15x10×6000K=289K2.据题意，低于截止频率f.=(1200K)h的太阳辐射可被卫星吸收并转化为热，高于∫。者均被反射.由“译注”可知，太阳表面单位面积向外辐射的功率随辐射频率∫的分布函数为p(T.p=fu(T.p其中T=T▣=6000K.频率在0到f。区间的单位面积辐射功率为()-p(T.paf-u(T.par把(Tpdf-de"-1·212·第一章量子物理及∫对应的%=等=190=68=0.2T6000代人，有P'(T)=2xkT oz dnc2h3 Jo e-1而太阳表面单位面积向外辐射的全（频率）辐射功率为P=P(T)=2xk4T「刀2dnc2h3 Jo e-1因此r0.2T2d2p'(T)=。epndnJo e-1利用”较小时的展开式e9≈1+n得仅供个人科研教学使用！0=8=0.2J。再利用=希Jo e-1得出P'(T)=4.1×104P对于人造卫星，上述截止频率∫。对应=紫=9KT.卫星的热平衡温度T.=289K《1200K,故7>1，卫星表面涂料对卫星高频辐射的阻止作用可忽略不计，卫星向太空的热辐射可近似处理为绝对黑体全频率辐射.现在用P'(T)代替第1问解答中一开始的P,从而使得解答过程中卫星吸收项多出一个4.1×104系数，由此可知卫星的新温度T应满足关系式7=4.1×10-(0）=4.1×10T即有T=(4.1×10-4)T.=41K3.第2问解出的卫星温度很低，仅为41K,截止频率∫。对应的=1200K=30T确为一个较大的数值，这反过来说明第2问求解过程中将卫星向空间的热辐射近似处理为绝对黑体全频率辐射是完全可以接受的，现在的情况有所不同.卫星内部焦耳热功率P,=1kW较大，它必定会使卫星的温度T“升高，”随之降低，若再将卫星的热辐射处理为全频率辐射便不妥了·213第五部分近代物理作为零级近似，先设卫星作全频率辐射，则卫星自身表面的黑体辐射功率为P.4xriaT由第2问，可算出卫星吸收太阳辐射的功率为p(D=4.1×10Tn0=0.51w卫星热平衡时，有P.=P+P'(T)因P,=1kW,P'(T)=0.51W,故P,>P'(T)近似有P,=P)得出卫星温度为T=103三4×0.×5.67×10)K=274K相应的个=1200K≈4现在可对卫星温度T作第一次修正.因>对应频率的辐射被卫星表面涂料反射回卫星体内，真正被辐射出去的功率为ndn「dnP=J。e-1pdJo e-115或写为P=aP其中a=f pdn6.50e"-1利用题图，对于=4估算出曲线下的面积约含18个方格，每一方格的“面积”为0.2，由此近似得出Td2=18×0.2=3.6Jo e-1因此。=36≈0.556.5热平衡方程为P=P,即a(4πraT)=P得出r=。t(4a）=0.5)-+×274K=318K它对应新的·214·第一章量子物理=1200K=3.8T再对T作第二次修正，利用题图，得出〔d2Jo e-1=16.8×0.2=3.4因此，有。=8等=0.527"=a青×274K=322K对应新的%=1200K=3.7T再对T:作第三次修正，利用题图，得出7d2=16.2×0.2=3.24,J。e-13.24=0.50,T=a÷×274K=326K6.5对应新的科研教学使用=1200K=3.7此值与上一次修正值相同，故卫星温度取为T=326K是合理的。(第3问原解答给出的卫星热平衡温度为274K,此即前面给出的零级近似解，它与合理解326K相差52K.)4.这样的卫星油漆不可能存在.因为若有这种卫星油漆存在，那么，可以设想有一个温度为T。的大热源包围着此卫星，卫星放热多于吸热必然导致大热源吸热多于放热.若开始时卫星温度T,高于T。,则T,必可降至低于T。,据题设，此时卫星放热仍多于吸热，便成从低温热源（卫星）向高温热源（大热源）的自发热传导，这显然违反热力学第二定律。5.为使卫星热平衡温度高于第1问计算值，要求表面涂料具有类似地球大气的性能。这就是说，涂层可将它从阳光中及卫星体辐射中吸收的红外部分转化为热能，尔后此热能的一部分转化为其他形式的能量被卫星体吸收并再转化为热能.这样就使卫星体吸收的总热量有所增加，卫星体热平衡时辐射出去的能量也相应增加，从而使其热平衡温度增高【本题是1992年第23届IPhO(国际中学生物理奥林匹克竞赛)试题.】

详细题解