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【题2】如力试（二）图2.1所示，一宇宙飞船绕地球做圆周运动，圆轨道半径为「。.开动飞船上的喷气发动机可改变运动轨道.假定每次喷气只维持极短的时间，因而喷气时间可忽略；每次喷气后飞船质量可看作不变，喷气后飞船的动量将发生变化，单位质量的动量改变U1△(mo)/m=|△o,为方便将1△o|改记为△v,称为比冲量.已知地球半径为R,质量为M.1.为使飞船从「。轨道上逃逸地球的束缚，发动机作第一次喷气.试问所需最小比冲量是多少？2.在飞船飞行过程中，飞船作第二次喷气，使它在半径为力试（二）图2.1「1的更高的圆轨道上飞行.试问所需比冲量是多少？应向什么方向喷气？3.为使飞船从1轨道返回地球，发动机在A点作第三次喷气，喷气按两种不同方式进行：一是向正前方，要求飞船沿地球表面的切面到达力试（二）图2.1中严格标定的B点：另一是向外侧，要求飞船沿地球表面的切面到达力试（二）图2.1示意性给出的某一个B'点，试分别计算两种方式所需的比冲量，若r。=2R,试比较两种比冲量的大小.【解】1.设飞船在r。圆轨道上飞行时的速度为o,由牛顿第二定律，有m喔=GMmror式中：m和M分别是飞船和地球的质量.故VoGMro刚能逃逸所需的比冲量最小.所谓刚能逃逸是使飞船速度刚好达到逃逸速度v®.刚能逃逸意指飞船的总能量为零，飞船将沿抛物线轨道飞向无穷，此时有zm哈-Gm=0ro故在r。轨道上飞船的逃逸速度为Uo=2GMN ro为使比冲量最小，应向后（即与反向）喷气，比冲量为·286·力学试题（二）△o="w-o=(2-1),GWro2.如力试（二）图2.2所示，飞船在r。轨道上经第一次喷气后，速度从o增为逃逸速度v@,沿抛物线轨道向远处飞行.当飞船到达与地心距离为「1时，发动机作第二次喷气，使飞船改在半径为「1的圆轨道上运行.如力试（二）图2.2所示，飞船到达距地心1处，喷气前U的速度记为va,第二次喷气后的速度记为1（其方向与半径为”1的圆相切)，两者的夹角为9，根据开普勒第二定律（即角动量守恒）有Varo Varicosp cos=Va reUel ri又因飞船沿抛物线轨道飞向无穷时总能量为零，故有力试（二）图2.22m哈-Gwms0即供个人科研2GM而1是飞船沿半径为1的圆轨道运动的速度，故GM如力试（二）图2.2所示，比冲量△01为△D1=D1-Dea即(a,P=听+唱-29=g+2G-2p。r-3G-24、2o0--2Vr r1V r1 N roa=√3-2阿第二次喷气的方向应沿飞船的左前方[如力试（二）图2.2所示]，即应沿△1的反方向喷气设喷气方向与飞船前进方向(0方向)之间的夹角为a,则有cos av品+（△U1)2-12vea△U1(1)式(1)等号右边各量均已求出，代人后得2-2rocos a√2-2√3.如力试（二）图2.2所示，飞船在半径为r1的圆轨道上的A点作第三次喷气，使它能沿地球表面的切向到达地球表面的B点(A与B的连线经地心).设按第一种方式向正前方·287·第六部分试题喷气，比冲量为△02，其方向与飞船运动方向相反，第三次喷气后飞船的速度设为心2.喷气后，飞船将沿椭圆轨道到达B点.因D2仍沿圆轨道（半径1）的切线方向，到达B点时的速度·s也要求沿地球表面的切线方向，故有v2r1 UBR(2)由机械能守恒定律，得暖-2GM=%-2GMR(3)由式(2)、式(3)解得暖=2GMR2GMRT1(r1+R)即2=Vr(n+R)所需比冲量为GN(1-△2=-=√2Rr+R(4)若按第二种方式喷气，即向飞船外侧第三次喷气，如力试(二)图2.3所示，设飞船所受指向地心的比冲量为△02，喷气后的速度为2，喷气前的速度为01，因△2与01垂直，故有(△v2)2=v2-v1由机械能守恒定律得-2GW=哈-2GM(5)rR式中：为按第二种方式喷气，飞船到达B点时的速度（注意：力试（二）图2.3与按第一种方式喷气的：不同).因向外侧喷气，不改变飞船的角动量，故有UAR v1r1(6)由式(5)、式(6)，解出略=是意听-2GM(员-)】如力试（二）图2.3所示，有(a)r=略-时=（晨-1）听-2GM-型Rr把U1的结果代入，得()CMCM(R2即a=RR(7)比较式(4)、式(7)，两种喷气方式所需比冲量之差为a-a=(RR-1+(8)·288·力学试题（二）若r。=2R,则「1>2R,式(8)圆括号内的数总是大于零的，即有△v2>△U2

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