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NTJC-15-8

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【题8】有8个外观完全相同的电阻，其中7个阻值相同，另一个阻值与它们不同，称为“特殊的”电阻.试设计一种测量方案，要求只使用欧姆表三次，便可将“特殊”的电阻检出.【解】可供选择的测量方案并不唯一，此处给出的只是其中之一·首先将8个电阻分别标明R1,R2,…,Rg·第一次测量：如电图4.8.1所示，将R1,R2,R3串联，测量A1,A2间的阻值，结果记为RA第二次测量：如电图4.8.2所示，将R4,R5,R6串联，测量B1,B2间的阻值，结果记为RBRBB2A2RR6电图4.8.1电图4.8.2第三次测量：(1)若RA=Ra,则特殊的电阻必为R,或R,测量R,的阻值，若R,≠3RA,则R,为特殊电阻，否则Rg为特殊电阻(2)若RA≠RB,总可设RA>RB,引入a=R>1,B=是<1RB(a)若R1,R2,Rg中有一个是特殊的电阻，则正常的阻值为R=3Ra特殊的阻值”为r=RA-号RB=3a-2)R设计包括全部8个电阻的网络如电图4.8.3所示，测R3量C1,C2间的阻值，结果记为Rc,Rs若R?是特殊的电阻，由电阻串、并联关系，可算RRa出Rc应为C2Ra=(g8二子+号)R。C电图4.8.3若R2是特殊的电阻，可算出Rc应为Rc2=若R3是特殊的电阻，可算出Rc应为Rc83=(6&=d+号)Rm因a>1,容易看出·593·第三部分电磁学RC>Rc2>Rc3(1)(b)若R4,R,R6中有一个是特殊的电阻，则正常的阻值R为R=RA特殊的阻值r为r=Rm-号R,=(（1-号a)RB因r>0,要求ax这表明，若α<3/2，则特殊的电阻可能是R1,R2,R3,R4,R5,R6之一；若a>3/2,则特殊的电阻只能是R1,R2,R3之一仍设计如电图4.8.3所示电阻网络，测量C1,C2间的阻值，结果仍记为Rc若R4是特殊的电阻，则Rc应为Ra=(3二号+号)R=(信二2+吉)R。若R与是特殊的电阻，则Rc应为Re=(3二+吉)R=(哈8+号)R若R。是特殊的电阻，则Rc应为Rco=(器=+吉)R,=(后=品+)Re因a>1,容易看出RC6 RC5 RC4(2)可以证明，在Rc1,Rc2,Rc3,Rc4,Rc5,Rc6间还有下述不等式关系：RC6 RC1,RC>RC5,RC5 >Rc2,RC3>RC4(3)与式(1)、式(2)联立，即可得RC6 >RC>RC >Rc2>RC3 RC4这6个Rc都只与RB和a有关，而在第一、二次测量中已经测出RA和RB,且a=RA/RB,因此，以上6个Rc都可算出具体的阻值.第三次测量得出的R只可能是以上6个R之一，“对号入座”即可确定“特殊的”电阻.式(3)的补充证明如下.因涉及Rae,Ra,Rc4项，故取3/2>a>1数域.Rc6>Rc的证明：取3/2>a>1数域，Rc6>Rc1的成立，等效于下述依次给出的不等式的成立5(9-4a)(6a-1)(Rc6-Rc)>0→-54a3+207a2-252a+99>0→54a3-207a2+252a<99→/y=a(54a2-207a+252)Iy<99a:11.11.21.31.41.5(获证)y:9998.697.696.495.394.5·594·第四章电流、直流电路Rc1>Rcs的证明：此不等式的成立，等效于下述依次给出的不等式的成立5(6a-1)(6-a)(Rc1-R5)>0→36a3-123a2+153a>66→/y=a(36a2-123a+153)y>66a:1+1.11.21.31.41.5y:6667.468.770.171.974.3(获证)Rcs>Rc2的证明：此不等式的成立，等效于下述依次给出的不等式的成立.5(6-a)(6a-1)(Rc5-Rc2)>0→36a3-118a2+118a<36→y=a(36a2-118a+118)y<36a:1+1.11.21.31.41.451.5(获证)y:3634.533.933.132.732.833R3>Rc4的证明：此不等式的成立，等效于下述依次给出的不等式的成立.5(9a-4)(6-a)(R3-Rc4)>0→99a3-252a2+207a>54→)=a(99a2-252a+207)y>54a:11.11.21.31.41.5(获证)y:5454.556.660.767.577.6

详细题解

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